Question

14．已知$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}，θ∈（0，\frac{π}{2}）$，则$sin（2θ-\frac{π}{3}）$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知先得2θ的范围，再利用二倍角公式求得sin2θ，cos2θ的值，利用两角差的正弦函数公式即可求值．

解答 解：∵$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}，θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{0＜θ+\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$可得$0＜θ＜\frac{π}{4}$，0$＜2θ＜\frac{π}{2}$，
∴由$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，可得：cosθ-sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，两边平方整理可得：sin2θ=$\frac{4}{5}$，从而可得：cos2$θ=\sqrt{1-si{n}^{2}2θ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$sin（2θ-\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}$sin2$θ-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式的应用，解题时一定要注意分析角的范围，属于基础题．