Question

4．已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，设T_n=S_2n-S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n=1+a_na_n+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=$\frac{1}{n}$．于是数列{b_n}的前n项和为S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．可得T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．只要证明T_n+1-T_n＞0即可．

解答 （1）解：∵2a_n=1+a_na_n+1，
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$+1=$\frac{n+1}{n}$．
（2）证明：由（1）可得b_n=$\frac{1}{n}$．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
∴T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．
∴T_n+1-T_n=$\frac{1}{n+1+1}$+$\frac{1}{n+1+2}$+…+$\frac{1}{n+1+n-1}$+$\frac{1}{n+1+n}$+$\frac{1}{n+1+n+1}$-（$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴T_n+1＞T_n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其数列求和、递推式的应用、数列的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．