题目内容

17．某单位招聘职工分为笔试和面试两个环节，将笔试成绩合格（满分100分，及格60分，精确到个位数）的应聘者进行统计，得到如下的频率分布表：
分组频数频率
[60，70]a0.16
（70，80]22x
（80，90]140.28
（90，100]by
合计501
（I）确定表中a，b，x，y的值（直接写出结果，不必写过程）
（Ⅱ）面试规定，笔试成绩在80分（不含80分）以上者可以进入面试环节，面试时又要分两关，首先面试官依次提出4个问题供选手回答，并规定，答对2道题就终止回答，通过第一关可以进入下一关，如果前三题均没有答对，则不再回答第四题并且不能进入下一关，假定某选手获得面试资格的概率与答对每道题的概率相等．
①求该选手答完3道题而通过第一关的概率；
②记该选手在面试第一关中的答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

分析 （I）由频率分布表可得表中a，b，x，y的值；
（Ⅱ）记“答对第i道题”为事件Ai，i=1，2，3，4，则P（Ai）=0.4，①记“该选手答完3道题而通过第一关”为事件A，则P（A）=P（A1$\overline{{A}_{2}}$A3）+P（$\overline{{A}_{1}}$A2A3）=2×0.42×（1-0.4）=0.192；
②随机变量ξ的可能取值为2，3，4．求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望．

解答 解：（I）由频率分布表可得a=8，b=6，x=0.44，y=0.12．
（Ⅱ）由频率分布表及（I）的结论可知，该选手能进入面试的概率即答对每道题的概率为0.28+0.12=0.4．
记“答对第i道题”为事件Ai，i=1，2，3，4，则P（Ai）=0.4．
①记“该选手答完3道题而通过第一关”为事件A，
则P（A）=P（A1$\overline{{A}_{2}}$A3）+P（$\overline{{A}_{1}}$A2A3）=2×0.42×（1-0.4）=0.192．
②随机变量ξ的可能取值为2，3，4．
P（ξ=2）=P（A1A2）=0.4×0.4=0.16；
P（ξ=3）=P（A1$\overline{{A}_{2}}$A3+$\overline{{A}_{1}}$A2A3+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=2×（1-0.4）×0.42+（1-0.4）3=0.408；
P（ξ=4）=P（A1$\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}$A2$\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}$A3）=3×0.4×（1-0.4）2=0.432．
因而ξ的分布列为

 ξ 2 3 4
 P 0.16 0.408 0.432
所以Eξ=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272．

点评 本题考查频率分布表，考查概率的计算，考查X的分布列及数学期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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