Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，是上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）是的中点，若二面角的平面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）欲证平面，只需证明，，由底面易证，通过计算证明即可

（2）易证三条直线两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的平面角的正切值为，求出，求出平面的一个法向量，则和平面的法向量的夹角的余弦的绝对值就是直线与平面所成角的正弦值.

证明：（1）

底面，∴.

因为，所以

过作，垂足为，则

过作，垂足为，则

四边形是平行四边形，

∵，，，

∴，，，，

∴，

即，

∵，∴平面.

解：（2）由（1）得平面.

∴是二面角的平面角.

∵底面，，

∴，则.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，.

设平面的法向量为，

则，∴，令，则，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为

故答案为：.