Question

18、已知函数y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]在x=3处有极值，则函数的最大值是

8

．

Answer 1

分析：先求出函数的导数，由函数在x=3处有极值得f^/（3）=0，解关于a的方程，得出a的值，再根据导数的正负得出函数在区间[0，4]的单调区间，从而得出函数在区间[0，4]的最大值．

解答：解：由函数y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]
得：y^/=3ax²-30x+36
∵函数在x=3处有极值
∴f^/（3）=27a-54=0
故a=2，函数表达式为y=2x³-15x²+36x-24
∴f^/（x）=6x²-30x+36=6（x-2）（x-3）
由f^/（x）＞0得x＜2，x＞3，所以函数在（0，2）和（3，4）上为增函数；
由f^/（x）＜0得2＜x＜3，所以函数在（2，3）上为减函数
所以函数的最大值为f（2）与f（4）中较大的一个
而f（2）=4＜f（4）=8
所以函数的最大值是8
故答案为：8

点评：本题考查运用导数讨论函数的单调性，来求函数在闭区间上的最值，属于中档题．