Question

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3
（1）求函数的解析式
（2）写出它的单调区间
（3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；
（2）令y′＞0解出得到函数的单调增区间，令y′＜0得到函数的单调减区间；
（3）由（2）求出函数的极值，再计算出函数在x=-2，x=2处的函数值，进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值；

解答：解：（1）y′=3ax²+2bx，当x=1时，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，解得a=-6，b=9，
所以函数解析式为：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知y=-6x³+9x²，
y′=-18x²+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函数的单调递增区间为（0，1），函数的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由（2）知：当x=0时函数取得极小值为0，当x=1时函数取得极大值3，
又y|_x=-2=84，y|_x=2=-12．
故函数在[-2，2]上的最大值为84，最小值为-12．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值及函数在闭区间上的最值问题，属中档题，准确求导，熟练运算是解决该类问题的基础．