Question

已知函数y=ax³-15x²+36x-24在x=3处有极值，则函数的递减区间为（　　）

A．（-∞，1），（5，+∞）

B．（1，5）

C．（2，3）

D．（-∞，2），（3，+∞）

Answer 1

分析：根据导数的运算法则求得y'=3ax²-30x+36．由题意当x=3时y'=0，解得a=2，从而得到导函数y'=6x²-30x+36，再解关于x的不等式y'＜0，即可得到函数的递减区间．

解答：解：对函数y=ax³-15x²+36x-24求导数，得y'=3ax²-30x+36
∵函数y=ax³-15x²+36x-24在x=3处有极值，
∴当x=3时，y'=27a-54=0，解之得a=2
由此可得函数解析式为y=2x³-15x²+36x-24，
得y'=6x²-30x+36，解不等式y'＜0，得2＜x＜3
∴函数的递减区间为（2，3）
故选：C

点评：本题给出三次多项式函数的极值，求函数的单调减区间．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值求法等知识，属于中档题．