题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
3
，椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5；
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，若
AN
•
BN
=0，求t的取值范围．
分析：（1）由椭圆的离心率为
2
3
，得
c
a
=
2
3
，由椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5，得a+c=5，再由a，b，c的关系式，就可解出a，b的值，得到椭圆方程．
（2）设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，解得x1+x2，x1x2，利用弦长公式求出|AB|长．因为M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，可求出|MN|的长，由M为线段AB的中点，
AN
•
BN
=0可得|AB|=2|MN|，把前面求出的|AB|长与|MN|的长代入，就可得到关于k，t的等式，用k表示t，再根据k的范围求出t的范围即可．
解答：解：（1）依题意，得
a+c=5
c
a
=
2
3
，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=
5
，
∴椭圆方程为
x2
9
+
y2
5
=1
（2）设直线AB方程为y=k（x-2），代入椭圆
x2
9
+
y2
5
=1中，得
（9k2+5）x2-36k2x+36k2-45=0
∵直线与椭圆交于A、B两点，
有△（36k2）2-4（9k2+5）（36k2-45）=25×36（k2+1）＞0
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
30(k2+1)
9k2+5

又由|MN|=t-
x1+x2
2
=t-
18k2
9k2+5
，又∵Rt△ABN中，M为斜边AB的中点，
∴|AB|=2|MN|，即
30(k2+1)
9k2+5
=2t-
36k2
9k2+5

解得，t=
33k2+15
9k2+5
=
11
3
-
10
3
9(k2+
5
9
)

∵k2≥0，∴k2+
5
9
≥
5
9
，9(k2+
5
9
)≥5
0＜
10
3
9(k2+
5
9
)
≤ 
2
3
，-
2
3
≤-
10
3
9(k2+
5
9
)
＜0
3≤
11
3
-
10
3
9(k2+
5
9
)
＜
11
3

∴t的取值范围为[3，
11
3
）
点评：本题主要考察了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆相交时弦长公式的应用，分离变量求参数的取值范围，属于圆锥曲线的综合题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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