题目内容
【题目】设是定义在
上的奇函数,且对任意实数
,恒有
,当
时,
(1)求证: 是周期函数;
(2)当时,求
的解析式;
(3)计算
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据条件利用是定义在
上的奇函数,
,可得
,从而证得结论;(2)利用函数的奇偶性和周期性,求得当
时,函数
的解析式;(3)利用周期为
以及
的值,可得
的值.
试题解析:(1)证明:∵,∴
.∴
是周期为4的周期函数.
(2)∵,∴
,∴
,
∴,∴
,
又,∴
,即
(3)∵
又是周期为4的周期函数,
【方法点晴】本题主要考查函数的解析式及函数的周期性,属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个,一是三角函数,可以用公式求出周期;二是抽象函数,往往需要根据条件判断出周期,抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:
(1) ;(2)
;
(3) .
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