Question

【题目】由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数．
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55=120个五位数
（2）解：∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，

∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，

其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，

根据分步计数原理得到共有C31A44=72

（3）解：根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55=120种情况，即一共有120个五位数，

再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：

①5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44=24个，

②4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33=6个，

③4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22=2个，

④43215，43251，43152，共3个

故不大于43251的五位数有120﹣（24+6+2﹣3）=85个，

即43125是第85项．

【解析】（1）利用全排列，可得结论；（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．