Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，是中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由侧面是正三角形，可知，进而可知底面，从而可得，再结合底面为矩形且，可得，从而可知，即，即可证明平面；

（2）过作的平行线，显然两两垂直，以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的法向量，平面的法向量，设二面角的大小为，易知为钝角，可得，求解即可.

（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，所以.

因为侧面底面，侧面底面，所以底面，所以.

因为底面为矩形且，所以.

所以，则.

所以，即.

又因为，所以平面.

（2）过作的平行线，显然两两垂直，以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则点，，，，

所以，，.

设平面的法向量为.

由，得，

令，得平面的法向量为；

同理，设平面的法向量为.

由得，

令，得平面的法向量为.

设二面角的大小为，易知为钝角，则.

所以二面角的余弦值为.