Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）当时，求证：在上有唯一零点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）当时，函数，分别求出及的值，结合导数的几何意义，可求出的图象在处的切线方程；

（2）对函数求导，判断单调性可知在上单调递减，在上单调递增，进而可知，然后构造函数，进而可证明，即，进而由，证明，又，结合单调性可知在上有唯一零点.

（1）当时，函数，定义域为.

则，则，.

故的图象在处的切线方程为，即.

（2）证明：.

因为，令，得；令，得.

又，在上单调递减，在上单调递增.

所以.

令.

显然在上单调递减.

又.

所以，即.

.

令，

则.

令，则，所以在上单调递增，

则，所以，，故，

所以在上单调递增，，所以.

又，结合单调性可知在上有唯一零点，命题得证.