Question

8．求函数解析式：
①若f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1-x}$，求f（x），其中x≠0，x≠1；
②f（x）是一次函数，且3f（x+1）-2f（x-1）=2x；
③f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求f（x）．

Answer 1

分析 ①通过换元求出函数的解析式即可；
②由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x，利用恒等式的对应项系数相等即可得出；
③通过配方法求出函数的解析式即可．

解答 解：①令t=$\frac{1}{x}$，则x=$\frac{1}{t}$，
∴f（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t}}$=$\frac{1}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
②由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x，
化为ax+（5a+b）=2x，
∴a=2，b=-10，
∴f（x）=2x-10；
（3）f（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$-2，
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，
∴f（x）=x²-2，（x≥2或x≤-2）．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用的方法之一，本题是一道基础题．