Question

5．设a＞0，解不等式$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1．

Answer 1

分析 将不等式进行平方，讨论a的取值范围进行求解即可．

解答 解：由$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1得$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤ax+1，
即ax+1≥$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥1，
则ax≥0，
∵a＞0，
∴x≥0，
∴（ax+1）²≥x²+1，
即（a²-1）x²+2ax≥0，即x[（a²-1）x+2a]≥0．
当a=1时，上式变为2ax≥0，即x≥0，不等式的解集为{x|x≥0}．
当0＜a＜1 时，解得0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，不等式的解集为{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}．
当a＞1时，解得 x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$（舍）或x≥0，不等式的解集为{x|x≥0}
综上当a≥1时，不等式的解集为{x|x≥0}
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}．

点评 本题主要考查根式不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．