题目内容
【题目】已知
为坐标原点，
为椭圆
的上焦点，
上一点
在
轴上方，且
.
（1）求直线
的方程；
（2）
为直线与异于的交点，的弦
，
的中点分别为
，若
在同一直线上，求
面积的最大值.
【答案】(1) 
的方程为
或
.(2)3
【解析】
(1) 设
，可得
，
，求出A点坐标，即可得到直线的方程；
(2)利用点差法可得
，又因为
在同一直线上，所以
，所以
，设出直线
，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示
面积，结合均值不等式即可得到结果.
解法一：（1）设 ，因为
，所以①
又因为点
在椭圆上，所以②
由①②解得：
或
，所以的坐标为
或
又因为
的坐标为
，所以直线的方程为
或.
（2）当在第一象限时，直线
设
，则
，
两式相减得：
因为
不过原点，所以
，即
，
同理：
又因为在同一直线上，所以，所以，
设直线，
由
得：
，由
，得
由韦达定理得：
，
，
所以
，
又因为
到直线的距离
，
所以
当且仅当
，即
时等号成立，
所以的面积的最大值为3，
当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，
综上，面积的最大值为3.
解法二：（1）同解法一；
（2）当点在第一象限时，直线
由
，得：
，则
中点
的坐标为
所以直线
①当直线斜率不存在或斜率为零时，不共线，不符合题意；
②当直线斜率存在时，设
，
，
由
得：
，由，得
，
由韦达定理，
，
，
所以
因为在同一直线上，所以
，解得
，
所以，，，
所以
又因为到直线的距离为
所以
当
，即时，面积的最大值为3，
所以面积的最大值为3，
当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，
综上，面积的最大值为3.
开心蛙状元测试卷系列答案【题目】世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的
名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别 |
|
|
|
|
|
频数 |
|
|
|
|
|
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出
服从正态分布
，若该所大学共有学生
人，试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在
范围内的
名学生中有
名女生， 
名男生，现想选其中
名学生回访，记选出的男生人数为
，求
的分布列与数学期望.
附：若
，则
，
， 
.
【题目】世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
每周累积户外暴露时间（单位：小时） |
|
|
|
| 不少于28小时 |
近视人数 | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近视人数 | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；
（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
近视 | 不近视 | |
足够的户外暴露时间 | ||
不足够的户外暴露时间 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
