题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,过右焦点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆四点.的中点为.

(1)求椭圆的方程;

(2)直线是否经过定点?若是,求出定点坐标;若否,请说明理由.

【答案】1;(2)直线经过定点,定点坐标为,理由见解析.

【解析】

1)根据题意确定出ce的值,利用离心率公式求出a的值,进而求出b的值,代入椭圆方程得答案;

2)由直线ABCD斜率存在,设为k,表示出AB方程,设出AB坐标,进而表示出M的坐标,联立直线AB与椭圆方程,消去y得关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出M,同理表示N,根据M,N的横坐标相同求出k的值,得到此时MN斜率不存在,直线恒过定点;若直线MN斜率存在,表示MN的斜率,进而表示直线MN的方程,令,求出x的值,得到直线MN恒过定点;显然直线ABCD斜率不存在,也成立,综上,得到直线MN恒过定点,求出坐标即可.

1)因为椭圆的右焦点,所以

又离心率,所以,即

故椭圆的方程为

2)当直线ABCD斜率存在时

设直线AB方程为:,再设

则有中点

联立方程,消去y得:

由韦达定理得: ,所以M的坐标为

将上式中的k换成,同理可得N的坐标为

,即

此时直线MN斜率不存在,直线过定点

时,即直线MN斜率存在,则

直线MN

,得

此时直线MN过定点

显然当直线ABCD斜率不存在时,直线MN就是x轴,也会过

综上所述:直线经过定点,定点坐标为

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