题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,过右焦点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于和四点.设的中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线是否经过定点?若是,求出定点坐标;若否,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线经过定点,定点坐标为,理由见解析.
【解析】
(1)根据题意确定出c与e的值,利用离心率公式求出a的值,进而求出b的值,代入椭圆方程得答案;
(2)由直线AB与CD斜率存在,设为k,表示出AB方程,设出A与B坐标,进而表示出M的坐标,联立直线AB与椭圆方程,消去y得关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出M,同理表示N,根据M,N的横坐标相同求出k的值,得到此时MN斜率不存在,直线恒过定点;若直线MN斜率存在,表示MN的斜率,进而表示直线MN的方程,令,求出x的值,得到直线MN恒过定点;显然直线AB或CD斜率不存在,也成立,综上,得到直线MN恒过定点,求出坐标即可.
(1)因为椭圆的右焦点,所以,
又离心率,所以,即
故椭圆的方程为
(2)当直线AB和CD斜率存在时
设直线AB方程为:,再设
则有中点
联立方程,消去y得:
由韦达定理得: ,所以M的坐标为
将上式中的k换成,同理可得N的坐标为
若,即,,
此时直线MN斜率不存在,直线过定点 ;
当时,即直线MN斜率存在,则
直线MN为
令,得
此时直线MN过定点
显然当直线AB或CD斜率不存在时,直线MN就是x轴,也会过
综上所述:直线经过定点,定点坐标为
【题目】足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;,则认为y与x线性相关性一般;,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
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