题目内容

下列说法中:
①若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),则6为函数f(x)的周期;
②若对于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,则a>
11
3

③定义:“若函数f(x)对于任意x∈R,都存在正常数M,使|f(x)|≤M|x|恒成立,则称函数f(x)为有界泛函.”由该定义可知,函数f(x)=x2+1为有界泛函;
④对于函数f(x)=
x-1
x+1
,设f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…,fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*且n≥2),令集合M={x|f2009(x)=x,x∈R},则集合M为空集.
正确的个数为(  )
A、1个B、2个C、3个D、4个
分析:依据相关函数的性质逐一进行判断证明,判断每个命题的正误.①变形判断其以6为周期,②分离出a来,利用恒成立求其范围;③根据有界函数的定义进行判断,确定f(x)=x2+1的性质;④先验证前几个函数的表达式,找出同期再计算求值.
解答:解:①由题设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x-1),得f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),故周期是6,正确.
②对于任意x∈(1,3),不等式x2-ax+2<0恒成立,即a>x+
2
x
对于任意x∈(1,3)恒成立,x+
2
x
≥2
2
等号当且仅当x=
2
x
=
2
时成立,又当x=1,x+
2
x
=3,x=3,x+
2
x
=
11
3
,故a≥
11
3
故不对.
③若命题成立,则必有M≥|x|+
1
|x|
,x∈R恒成立,这是不可能的,故不对.
④由题设f2(x)=-
1
x
,f3(x)=
x+1
x-1
,f4(x)=
1
x
,f5(x)=
1-x
x+1
f6(x)=-x,f7(x)=f3(x)=
x+1
x-1
,故从f3(x)开始组成了一个以f3(x)为首项,以周期为4重复出现,由2009=3+501*4+2得f2009(x)=f5(x),故
1-x
x+1
=x整理得,x2+2x-1=0,有解,故不对.
综上,仅有①正确
故应选A.
点评:考查同期性,恒成立求参数,利用周期性求值,新定义函数的正确性验证,本题作为一个选择题运算量太大,且变形技巧性强,实为得分不易之题.
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