题目内容
【题目】设椭圆,定义椭圆的“伴随圆”方程为
;若抛物线
的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合,且椭圆C的离心率为
.
(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程;
(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.
(i)证明:PA⊥PB;
(ii)若直线OP,OQ的斜率存在,设其分别为,试判断
是否为定值,若是, 求出该值;若不是,请说明理由.
【答案】(1) (2)(i)见解析,(ii)
【解析】试题分析:(1)先求抛物线焦点得,再由离心率求
,最后写出椭圆标准方程及“伴随圆”方程(2)(i)联立切线方程
与椭圆方程,利用判别式为零得
,根据点P在“伴随圆”上得关于k的一元二次方程
,利用韦达定理得
,即得结论,(ii) 由切线方程与圆方程联立,结合韦达定理得
,再根据斜率公式化简
得定值
试题解析:(1)由题意得
(2)(i)设 ,切线方程为
,与椭圆方程联立得
,由
得
把代入得
,因此
当切线斜率不存在或等于零时,结论也成立
(ii)由切线方程与圆方程联立得,
所以 ,当切线斜率不存在时,结论也成立
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