Question

2．已知数列{log₂x_n}是首项和公差均为-1的等差数列，且y_n=x_n²（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{x_n}，{y_n}的通项公式x_n，y_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）设a_n=$\frac{1}{{1+{x_n}}}+\frac{1}{{1-{x_{n+1}}}}$，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）设b_n=1-log₂y_n，若对于任意正整数n，不等式$（1+\frac{1}{b_1}）（1+\frac{1}{b_2}）$…$（1+\frac{1}{b_n}）$≥a$\sqrt{2n+3}$成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和等差数列的通项公式求出log₂x_n，利用对数的运算法则求出通项公式x_n，代入式子求出y_n；
（Ⅱ）把${x_n}={（\frac{1}{2}）^n}$代入a_n=$\frac{1}{{1+{x_n}}}+\frac{1}{{1-{x_{n+1}}}}$化简，根据式子的特点进行放缩为：a_n$＞2-（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}）$，利用裂项相消法证明结论成立；
（Ⅲ）把${y_n}=\frac{1}{4^n}$代入b_n=1-log₂y_n化简，利用分离常数法化简不等式，设$f（n）=\frac{1}{\sqrt{2n+3}}（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）…（1+\frac{1}{{b}_{n}}）$，利用作商法，即化简$\frac{f（n+1）}{f（n）}$后判断出与1的关系，确定出f（n）的单调性，求出f（n）的最小值，利用恒成立问题求出正数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{log₂x_n}是首项和公差均为-1的等差数列，
∴log₂x_n=-1+（-1）（n-1）=-n，则x_n=2^-n=$\frac{1}{{2}^{n}}$
∴y_n=x_n²=$\frac{1}{{4}^{n}}$；
证明：（Ⅱ）由（I）知${x_n}={（\frac{1}{2}）^n}$，
所以${a_n}=\frac{1}{{1+{{（\frac{1}{2}）}^n}}}+\frac{1}{{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}}=\frac{2^n}{{{2^n}+1}}+\frac{{{2^{n+1}}}}{{{2^{n+1}}-1}}$=$\frac{{{2^n}+1-1}}{{{2^n}+1}}$+$\frac{{{2^{n+1}}-1+1}}{{{2^{n+1}}-1}}$
=$1-\frac{1}{{{2^n}+1}}$+1+$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，
由$\frac{1}{{{2^n}+1}}＜\frac{1}{2^n}$，$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，得$\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$$＜\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以a_n=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$$＞2-（\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{2}^{n+1}}）$
则${T_n}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞[2-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）]+[2-（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+[2-（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$
=$2n-[（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）+（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$=$2n-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）＞2n-\frac{1}{2}$，
即T_n＞$2n-\frac{1}{2}$．                           
解：（Ⅲ）由${y_n}=\frac{1}{4^n}$，得b_n=2n+1．
对任意正整数n，不等式$（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{b}_{n}}）≥a\sqrt{2n+3}$成立，
即$a≤\frac{1}{{\sqrt{2n+3}}}$$（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{b}_{n}}）$恒成立．
设$f（n）=\frac{1}{{\sqrt{2n+3}}}$$（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{b}_{n}}）$，
则$f（n+1）=\frac{1}{\sqrt{2n+5}}$$（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{b}_{n}}）$$（1+\frac{1}{{b}_{n+1}}）$
所以$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+5}}$•$（1+\frac{1}{{b}_{n+1}}）$=$\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+5}}$$•\frac{2n+4}{2n+3}$=$\frac{2n+4}{\sqrt{2n+5}\sqrt{2n+3}}$
=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+16n+16}}{\sqrt{4{n}^{2}+16n+15}}$＞1，
所以f（n+1）＞f（n），则f（n）单调递增，
则f（n）的最小值是f（1）=$\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
所正数a的取值范围是$（0，\frac{4\sqrt{5}}{15}]$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，数列与不等式、函数结合的问题，考查放缩法，分离常数法，作商法等，考查分析、解决问题的能力，属于难题．