Question

已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范围；
（2）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设r=2^19.2-1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，可得公比的不等式，故可求q的取值范围；
（2）先考虑相邻项的关系，可知比值为常数，故可知数列是等比数列，由于公比不定，故要进行分类讨论；
（3）先求数列{}的通项，再利用单调性，研究其最值．
解答：解：（1）由题意得rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹  
由题设r＞0，q＞0，故从上式可得   q²-q-1＜0，
∵q＞0，故
（2）∵b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而b_n=（1+r）q^n-1  
当q=1时，S_n=n（1+r），=0；
    当0＜q＜1时=
     当q＞1时，=0；
∴
（3）从上式可知，设f（n）=
当n＞21时，f（n）递减，∴f（n）≤f（21），∴f（n）_max=2 25；
当n≤20时，f（n）递减，∴f（n）≥f（20），f（n）_min=-4
∴当n=21时，数列{}有最大值2 25；当n=20时，数列{}有最小值-4．
点评：本题以等比数列为依托，考查数列的进行，考查数列中的最大与最小项，综合性强，有难度．