题目内容

【题目】已知函数f(x)=k(x﹣1)ex+x2 . (Ⅰ)当时k=﹣ ,求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程;
(Ⅱ)若在y轴的左侧,函数g(x)=x2+(k+2)x的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象的上方,求k的取值范围;
(Ⅲ)当k≤﹣l时,求函数f(x)在[k,1]上的最小值m.

【答案】解:(Ⅰ)k=﹣ 时,f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2

∴f′(x)=x(2﹣ex1 ),∴f′(1)=1,f(1)=1,

∴函数f(x)在(1,1)处的切线方程为y=x,

(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,

即:kxex﹣x2﹣kx<0,

∵x<0,∴kex﹣x﹣k>0,

令h(x)=kex﹣x﹣k,

∴h′(x)=kex﹣1,

当k≤0时,h(x)在x<0时递减,h(x)>h(0)=0,符合题意,

当0<k≤1时,h(x)在x<0时递减,h(x)>h(0)=0,符合题意,

当k>1时,h(x)在(﹣∞,﹣lnk)递减,在(﹣lnk,0)递增,

∴h(﹣lnk)<h(0)=0,不合题意,

综上:k≤1.

(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),

令f′(x)=0,解得:x1=0,x2=ln(﹣ ),

令g(k)=ln(﹣ )﹣k,则g′(k)=﹣ ﹣1≤0,

g(k)在k=﹣1时取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,

∴x2=ln(﹣ )>k,

当﹣2<k≤﹣1时,x2=ln(﹣ )>0,

f(x)的最小值为m=min{f(0),f(1)}=min{﹣k,1}=1,

当k=﹣2时,函数f(x)在区间[k,1]上递减,m=f(10=1,

当k<﹣2时,f(x)的最小值为m=min{f(x2 ),f(1)},

f(x2 )=﹣2[ln(﹣ )﹣1]+[ln(﹣ )]2= ﹣2x2+2>1,f(1)=1,

此时m=1,

综上:m=1.


【解析】(Ⅰ)k=﹣ 时,f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2,得f′(x)=x(2﹣ex1 ),从而求出函数f(x)在(1,1)处的切线方程;(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,即:kxex﹣x2﹣kx<0,令h(x)=kex﹣x﹣k,讨论当k≤0时,当0<k≤1时,当k>1时,从而综合得出k的范围;(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),令f′(x)=0,得:x1=0,x2=ln(﹣ ),令g(k)=ln(﹣ )﹣k,则g′(k)=﹣ ﹣1≤0,得g(k)在k=﹣1时取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,讨论当﹣2<k≤﹣1时,当k=﹣2时,当k<﹣2时的情况,从而求出m的值.
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数,掌握求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.

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