题目内容
已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若时,关于的方程有唯一解,求的值;
(3)当时,证明: 对一切,都有成立.
(1)当k是奇数时, f(x)在(0,+)上是增函数;
当k是偶数时,f (x)在上是减函数,在上是增函数.
(2)
(3)当时, 问题等价于证明
由导数可求的最小值是,当且仅当时取到,
设,利用导数求解。
解析试题分析:(1)由已知得x>0且.
当k是奇数时,,则f(x)在(0,+)上是增函数;
当k是偶数时,则.
所以当x时,,当x时,.
故当k是偶数时,f (x)在上是减函数,在上是增函数.…………4分
(2)若,则.
记 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解; 令,得.因为,所以(舍去),. 当时,,在是单调递减函数;
当时,,在上是单调递增函数.
当x=x2时, ,. 因为有唯一解,所以.
则 即 设函数,
因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x) = 0至多有一解.
因为h (1) = 0,所以方程(*)的解为x 2 = 1,从而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,则,设,显然是增函数且,所以当时,当时,于是时有唯一的最小值,所以,综上:.
(3)当时, 问题等价于证明
由导数可求的最小值是,当且仅当时取到,
设,则,
易得,当且仅当 时取到,
从而对一切,都有成立.故命题成立.…………16分
考点:利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立问题。
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,不等式恒成立问题,是导数应用的常见问题,本题因为参数的引入,增大了讨论的难度,学生易出错。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得解。
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