题目内容
已知函数,,
⑴求函数的单调区间;
⑵记函数,当时,在上有且只有一个极值点,求实数的取值范围;
⑶记函数,证明:存在一条过原点的直线与的图象有两个切点
(1)当时,为单调增区间,当时,为单调减区间, 为单调增区间.
(2)
(3)在第二问的基础上,根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。
解析试题分析:(1)因为,
①若,则,在上为增函数,2分 ②若,令,得,
当时,;当时,.
所以为单调减区间,为单调增区间. 综上可得,当时,为单调增区间,
当时,为单调减区间, 为单调增区间. 4分
(2)时,,
, 5分
在上有且只有一个极值点,即在上有且只有一个根且不为重根,
由得,
(i),,满足题意;…… 6分
(ii)时,,即;… 7分
(iii)时,,得,故; 综上得:在上有且只有一个极值点时,. ………8分注:本题也可分离变量求得.
(3)证明:由(1)可知:
(i)若,则,在上为单调增函数,
所以直线与 的图象不可能有两个切点,不合题意. 9分
(ⅱ)若,在处取得极值.
若,时,由图象知不可能有两个切点.10分
故,设图象与轴的两个交点的横坐标为(不妨设),
则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点.,,
设切点分别为,则,且
,,,
即 ① ,
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