题目内容

已知函数
⑴求函数的单调区间;
⑵记函数,当时,上有且只有一个极值点,求实数的取值范围;
⑶记函数,证明:存在一条过原点的直线的图象有两个切点

(1)当时,为单调增区间,当时,为单调减区间, 为单调增区间.
(2)
(3)在第二问的基础上,根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。

解析试题分析:(1)因为
①若,则上为增函数,2分 ②若,令,得
时,;当时,
所以为单调减区间,为单调增区间. 综上可得,当时,为单调增区间,
时,为单调减区间, 为单调增区间.  4分
(2)时,
,  5分
上有且只有一个极值点,即上有且只有一个根且不为重根,

(i),满足题意;…… 6分
(ii)时,,即;… 7分
(iii)时,,得,故; 综上得:上有且只有一个极值点时,. ………8分注:本题也可分离变量求得.
(3)证明:由(1)可知:
(i)若,则上为单调增函数,
所以直线 的图象不可能有两个切点,不合题意. 9分
(ⅱ)若处取得极值
时,由图象知不可能有两个切点.10分
,设图象与轴的两个交点的横坐标为(不妨设),
则直线的图象有两个切点即为直线的切点.
设切点分别为,则,且

   ① , 

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