Question

【题目】已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为 ，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，得线段AB的中点坐标为（ ， ），
直线AB的斜率kAB= =﹣1，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y﹣ =x﹣ ，即x﹣y+2=0．
由题意，圆C的圆心C在直线x﹣y+2=0上，又在y轴上，所以C（0，2），
半径r=|BC|=1，所以圆C的方程为x2+（y﹣2）2=1． …．（6分）
（Ⅱ）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0，
∵直线被圆C截得的弦长为 ，
∴圆心到直线的距离为 ，
∴ = ，
∴a=1或3，
∴所求直线方程为x+y﹣1=0或x+y﹣3=0，
直线过原点，设直线l的方程为y=kx．∴ = ，
∴k= x，∴所求直线方程为y= x．
综上所述所求直线为x+y﹣1=0或x+y﹣3=0或y= x
【解析】（Ⅰ）求出线段AB的垂直平分线的方程，结合圆C的圆心C在直线x﹣y+2=0上，又在y轴上，求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，分类讨论，设方程，利用直线被圆C截得的弦长为 ，可得圆心到直线的距离为 ，即可求出直线的方程．