题目内容
2．下列结论中．正确的个数是3①若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，则存在实数x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$
②若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面，则不存在实数x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$
③若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共线，则存在实数x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$
④若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$则a，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面．
分析 ①举例说明$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共线，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$不共线时，命题不成立；
②根据空间向量的共面定理以及逆否命题与原命题的真假性相同，即可判断命题正确；
③举例说明$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$与$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，命题成立；
④根据空间向量的共面定理，得出命题正确．
解答 解：对于①，向量$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共线，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$不共线时，不存在实数x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，∴①错误；
对于②，根据空间向量的共面定理，结合逆否命题与原命题的真假性，得：
$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面时，不存在实数x，y，使$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，∴②正确；
对于③，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$时，与$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$共面，且$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共线，则存在实数x=y=0，使$\overrightarrow{a}$=0•$\overrightarrow{b}$+0•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴③正确；
对于④，根据空间向量的共面定理得，当$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$时，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，∴④正确．
综上，正确的命题是②③④．
故答案为：3．
点评 本题考查了空间向量的基本概念问题，解题时应理解空间向量的基本定理，是基础题目．
已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}=λ（0＜λ＜1）$．
| A． | $\sqrt{61}$ | B． | $\sqrt{41}$ | C． | 2$\sqrt{5}$ | D． | 5 |