题目内容
【题目】如图,在三陵锥中,
为等腰直角三角形,
,
为正三角形,
为
的中点.
(1)证明:平面平面
;
(2)若二面角的平面角为锐角,且棱锥
的体积为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据等腰三角形三线合一,可证明线线垂直,再根据线面垂直判定定理,即可证明;
(2)根据题意,点在平面
内的射影
在射线
上,再根据锥体体积公式可知
,由线面垂直的判定定理,可证
平面
,则建系:以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法,求线面角.
(1)
证明:∵,
为
中点,∴
,
又为等边三角形,
,∴
,
,∴
平面
,
平面
,∴平面
平面
;
(2)由(1)知点在平面
内的射影
在直线
上,又二面角
的平面角为锐角,∴
在射线
上,
,
,∴
,
又,∴
,即
为
中点,取
中点
,连接
,则
,
∴平面
,∴
两两互相垂直,
以为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,
则
设平面的法向量为
由得
令,得平面
的一个法向量为
,
又,设
与平面
所成角为
,
则,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.

【题目】随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
考试情况 | 男学员 | 女学员 |
第1次考科目二人数 | 1200 | 800 |
第1次通过科目二人数 | 960 | 600 |
第1次未通过科目二人数 | 240 | 200 |
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求
的分布列与数学期望.