Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， 若x2＜f（x1）＜x1 ， 则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数可能为（ ）
A.3，4，5
B.4，5，6
C.2，4，5
D.2，3，4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x1=﹣ + ，x2=﹣ ﹣ ，
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2
由x2＜f（x1）＜x1 ，
画出如图，由f（x1）＜x1 ，
可知方程f（x）=x1有3个根．
方程f（x）=x2有1个根，
则原方程共有4个根．
讨论若x1=f（x2），即有f（x）=x1有2个根，
方程f（x）=x2有1个根，
则原方程共有3个根；
若x1＞f（x2），即有f（x）=x1有1个根，
方程f（x）=x2有1个根，
则原方程共有2个根．
即有原方程可能有2，3，4个根．
故选：D．

【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．