Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）﹣x，曲线y=f（x）与x轴相切． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m使得 恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设切点为（x0 ， 0），则f′（x）= ， 依题意 ，即 ，
解得 ．
∴f（x）=ln（x+1）﹣x，f′（x）= ．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）存在m= ，理由如下：
等价于 ，或 ．
令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），
则g′（x）= ，g″（x）= ，
①若m= ，
当﹣1＜x＜0时，﹣ ＜﹣1，m（x+2）ex＜1，∴g″（x）＜0；
当x＞0时，﹣ ＞﹣1，m（x+2）ex＞1，∴g″（x）＞0，
∴g′（x）在单调递减区间为（﹣1，0），单调递增为（0，+∞），
又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，当且仅当x=0时，g′（x）=0，
从而g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又g（0）=0，
∴ 或 ，即 ＞m（1﹣ex）成立．
②若m ，∵g″（0）=2m﹣1＞0，
g″（ ）= ＜﹣4m2+m（ ）＜0，
∴存在x1∈（ ，0），使得g″（x1）=0，
∵g″（x）在（﹣1，0）上单调递增，
∴当x∈（x1 ， 0）时，g″（x）＞0，g′（x）在（x1 ， 0）上递增，
又g′（0）=0，∴当x∈（x1 ， 0）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（x1 ， 0）上递减，又g（0）=0，
∴当x∈（x1 ， 0）时，g（x）＞0，
此时 ＞m（1﹣ex）不恒成立；
③若m＜ ，同理可得 ＞m（1﹣ex）不恒成立．
综上所述，存在实数m= ．
【解析】（Ⅰ）设出切点坐标，由 即可求得a值，把a值代入函数解析式，得到当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况表，由图表可得f（x）的单调区间；（Ⅱ） 等价于 ，或 ，令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），求其二阶导数，然后对m分类讨论得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．