Question

【题目】已知函数f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos（ +φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（ ）． （I）求ω和φ的值；
（II）求函数y=f（2x），x∈[0， ]的值域．

Answer 1

【答案】解：f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos（ +φ）（0＜φ＜π）， f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ﹣ sinφ
f（x）= sin2ωxcosφ+sinφ（cos2ωx﹣ ）
f（x）= sin2ωxcosφ+ cos2ωxsinφ
f（x）= sin（2ωx+φ），
（I）∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴T=2π，
又∵T= ，∴ω= ，
图象过点（ ），∴ = sin（±1× +φ），
解得： ，
∴f（x）= sin（x+ ）或f（x）= sin（﹣x+ ）；
（Ⅱ）∵y=f（2x），
又∵x∈[0， ]，
∴2x+ ∈[ ]，
结合正弦函数的图象和性质：当 时，y取得最大值，即 ，
当 时，y取得最小值，即 ，
所以函数y=f（2x），x∈[0， ]的值域为 ．
【解析】（I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可求函数ω和φ的值；（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x∈[0， ]求出函数y=f（2x）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域． ∴y=f（2x）= sin（2x+ ），【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．