Question

9．四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB=BC=6，BD=8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 可过B点作BC的垂线，根据条件便知BC的垂线，BC，BA三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出图形上各点的坐标，从而得出向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CD}$的坐标，从而可求出这两向量夹角的余弦值，这样即可得出异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解答 解：AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，∴AB⊥平面BCD，∴分别以BC的垂线，BC，BA三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则可确定以下几点坐标：
B（0，0，0），C（0，6，0），A（0，0，6），D（-$2\sqrt{7}$，6，0），E（$-\sqrt{7}，3，3$）；
$\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{7}，3，3），\overrightarrow{CD}=（-2\sqrt{7}，0，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{14}{5×2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{5}$；
∴BE与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{5}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法，线面垂直的判定定理，能求空间点的坐标，以及向量夹角余弦的坐标公式，清楚异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．