Question

2．若对任意x∈R，不等式$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$＞k恒成立，则k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$，利用判别式法，求出y的范围，即可确定k的取值范围．

解答 解：设y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$，则yx²+（y-1）x+y-1=0．
y=0时，x=-1；
y≠0时，△=（y-1）²-4y（y-1）≥0，
∴（y-1）（3y+1）≤0，
∴-$\frac{1}{3}$≤y≤1且y≠0，
综上，-$\frac{1}{3}$≤y≤1，
∵对任意x∈R，不等式$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$＞k恒成立，
∴k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$．
故答案为：k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了恒成立问题，考查函数值域的求法，属中档题．正确求出函数值域，是解决本题的关键．