题目内容
已知函数,.
(1)如果函数在上是单调减函数,求的取值范围;
(2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)(2)
解析试题分析:解:(1)当时,在上是单调增函数,不符合题意.…1分
当时,的对称轴方程为,由于在上是单调增函数,不符合题意.
当时,函数在上是单调减函数, 则,解得,
综上,的取值范围是. 4分
(2)把方程整理为,
即为方程. 5分
设 ,原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. ……6分
7分
令,因为,解得或(舍) 8分
当时, , 是减函数;
当时, ,是增函数.……10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 13分
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() . 14分
考点:导数的应用
点评:解决的关键是通过导数的符号判定函数但典型,进而来解决方程根的问题,以及函数单调性的应用,属于基础题。
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