题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于
,
两点(
,
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
.直线
与
轴、
轴分别交于
两点.设直线
的斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由离心率可得
,由对称性直线
被椭圆截得弦长为
可求得
点坐标为
,代入椭圆方程可求得
得椭圆标准方程;
(Ⅱ)直线与椭圆相交,设,
,有
,由直线垂直得直线
的斜率为
.为了简便设直线
的方程为
,代入椭圆方程消元得
的一元二次方程.可得
,于是有
,而
,于是写出直线
方程,求出
点坐标,可得
,比较可得
.
试题解析:
(Ⅰ)∵,∴
,
,∴
.①
设直线与椭圆
交于
,
两点,不妨设点
为第一象限内的交点.∴
,
∴代入椭圆方程可得
.②
由①②知,
,所以椭圆的方程为:
.
(Ⅱ)设,则
,
直线的斜率为
,又
,
故直线的斜率为
.设直线
的方程为
,
由题知,
联立
,得
.
∴,
,由题意知
,
∴,直线
的方程为
.
令,得
,即
,可得
,∴
,即
.
因此存在常数使得结论成立.
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练习册系列答案
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乙 | 92 | 95 | 80 | 75 | 83 | 80 | 90 | 85 |
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.