Question

【题目】如图，在直角△中，，△通过△以直线为轴顺时针旋转120°得到（），点为线段上一点，且.

（1）求证：，并证明：平面；

（2）分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求异面直线与所成角的大小（用反余弦运算表示）；

（3）若，求锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用余弦定理求得，通过证明，证得平面.

（2）利用直线和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，进而求得线线角的大小.

（3）判断出锐二面角的平面角，进而求得其大小.

（1）由于，所以，在三角形中，由余弦定

理得.

所以，所以.

依题意可知，所以平面，由于平面，所以.

因为，所以平面.

（2）在三角形中，由余弦定理得.所以.

依题意建立如图所示空间直角坐标系.则，设，由得，

所以，解得，所以.

所以.设异面直线与所成角为，则，由于，所以.

（3）由于，所以是等腰直角三角形斜边的中点，所以，所以.

由（1）知平面，所以，所以锐二面角的平面角的平面角为，其大小为.