Question

【题目】如图，在正方体中，直线与平面和平面分别交于点G，H．

求证：点G，H是线段的三等分点；

在棱上是否存在点M，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见解析

【解析】

连结，交于O，推导出，，，从而平面，设正方体棱长为1，则由，能求出，同理，，由题意知，由此能证明G，H是线段的三等分点．

以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱上不存在点M，使得二面角的大小为．

证明：连结，交于O，

正方体，，且平面，

平面，，又，

平面，平面，，

同理，，又，平面，

设正方体棱长为1，则由，得：

，

解得，

同理，，由题意知，

，H是线段的三等分点．

解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，设，

即m，，，则1，，0，，1，，

由知是平面的一个法向量，且，

，，

设平面MBD的一个法向量为，

则，令，得，

由，得，

由，得m无解，

故棱上不存在点M，使得二面角的大小为．