Question

【题目】已知，抛物线： 与抛物线： 异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.

（1）若直线与抛物线交于点， ，且，求抛物线的方程；

（2）证明： 的面积与四边形的面积之比为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（１）联立直线方程与抛物线方程，根据弦长公式以及韦达定理得等量关系，求出p，（２）先求M坐标，再求直线方程，进而求得A,B,C坐标，即得面积，最后作商.

试题解析：（1）解：由，消去得.

设， 的坐标分别为， ，

则， .

∴ ，∵，∴.

故抛物线的方程为.

（2）证明：由，得或，则.

设直线： ，与联立得.

由，得，∴.

设直线： ，与联立得.

由，得，∴.

故直线： ，直线： ，

从而不难求得， ， ，

∴， ，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.