Question

11．在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为1；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，其中点M为所在母线的中点，O为底面圆的圆心，对于下面四个命题，正确的个数有（　　）

①圆的面积为$\frac{π}{4}$；
②椭圆的长轴长为$\sqrt{13}$；
③双曲线两渐近线的夹角为arcsin$\frac{4}{5}$；
④抛物线上的点$（\frac{\sqrt{5}}{2}，1）$，其焦点到准线的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由点M是母线的中点，可得截面圆的半径r=$\frac{1}{2}$，得出面积，即可判断出正误；
②椭圆的长轴长=$\sqrt{{1}^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$，即可判断出正误；
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点$（2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$代入解得b，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；
④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y²=2px，把点$（\frac{\sqrt{5}}{2}，1）$代入解出即可．

解答 解：①∵点M是母线的中点，∴截面圆的半径r=$\frac{1}{2}$，因此面积=$π×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{4}$，正确；
②椭圆的长轴长=$\sqrt{{1}^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，因此不正确；
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点$（2，\frac{\sqrt{3}}{2}）$代入可得：$4-\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，解得b=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，∴tan2θ=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴sin2θ=$\frac{4}{5}$，因此双曲线两渐近线的夹角为arcsin$\frac{4}{5}$；
④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y²=2px，把点$（\frac{\sqrt{5}}{2}，1）$代入可得：$1=2p×\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得p=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴抛物线中焦点到准线的距离p为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，正确．
综上可得：只有②③④正确．
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．