Question

【题目】已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （Ⅰ）设 ，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）设 ，函数g（x）=f（x）﹣2，已知b＞3时存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0．若g（x）=0有且只有一个零点，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 时，f（x）=2x+2﹣x=2x+ ，

令f（x）=2，即2x+ =2，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，

即（2x﹣1）2=0，∴2x=1，

解得：x=0．

（Ⅱ）当b=3时，g（x）=3x+ ﹣2≥2﹣2=0，

当且仅当 =3x即x=0时取等号，

∴x=0是g（x）的唯一的零点，符合题意．

当b＞3时， ，

显然x=0是g（x）的一个零点，

∵当b＞3时存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0，且g（﹣2）＞0，

∴g（x）在（﹣2，x0）必存在另一零点，

此时，g（x）存在2个零点，不符合题意．

综上可得b=3．

【解析】（I）直接解方程即可得出；（II）对b=3和b＞3分情况讨论，利用零点存在性定理判断零点是否唯一．