Question

（本小题满分16分）

设函数（其中常数>0，且≠1）．

（Ⅰ）当时，解关于的方程（其中常数）；

（Ⅱ）若函数在上的最小值是一个与无关的常数，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）x＝lg．

（2）当a≥时，f(x)在(－∞，2]上的最小值与a无关

【解析】解 （Ⅰ）f(x)＝

① 当x＜0时，f(x)＝＞3．因为m＞2．则当2＜m≤3时，方程f(x)＝m无解；

当m＞3，由10^x＝，得x＝lg．                           …………………… 1分

② 当x≥0时，10^x≥1．由f(x)＝m得10^x＋＝m，∴(10^x)²－m10^x＋2＝0．

因为m＞2，判别式＝m²－8＞0，解得10^x＝． …………………… 3分

因为m＞2，所以＞＞1．所以由10^x＝，解得x＝lg．

令＝1，得m＝3．                              …………………… 4分

所以当m＞3时，＝＜＝1，

当2＜m≤3时，＝＞＝1，解得x＝lg ．…………… 5分

综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg 和x＝lg ；

当2＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg ．…………………… 6分

(2) （Ⅰ）若0＜a＜1，当x＜0时，0＜f(x)＝＜3；当0≤x≤2时，f(x)＝a^x＋．… 7分

令t＝a^x，则t∈[a²，1]，g(t)＝t＋在[a²，1]上单调递减，所以当t＝1，即x＝0时f(x)取得最小值为3．

当t＝a²时，f(x)取得最大值为．此时f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，没有最小值．…………………………… 9分

（Ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f(x)＝＞3；当0≤x≤2时f(x)＝a^x＋．

令t＝a^x，g(t)＝t＋，则t∈[1，a²]．

① 若a²≤，g(t)＝t＋在[1，a²]上单调递减，所以当t＝a²即x＝2时f(x)取最小值a²＋，最小值与a有关；…………………………… 11分

② a²≥，g(t)＝t＋在[1，]上单调递减，在[，a²]上单调递增，…………13分

所以当t＝即x＝log_a时f(x)取最小值2，最小值与a无关．……………… 15分

综上所述，当a≥时，f(x)在(－∞，2]上的最小值与a无关．……………………… 16分