题目内容

已知函数f(x)=ex,a,bR,且a>0.
⑴若a=2,b=1,求函数f(x)的极值;
⑵设g(x)=a(x-1)ex-f(x).
①当a=1时,对任意x (0,+∞),都有g(x)≥1成立,求b的最大值;
②设g′(x)为g(x)的导函数.若存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范围.

⑴f (x)的极大值是f (-1)=e-1,f (x)的极小值是f ()=4;⑵① -1-e-1 ;②(-1,+∞).

解析试题分析: ⑴由 a=2,b=1得,f (x)=(2+)ex, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);从而可求得 f ′(x)=ex, 令f ′(x)=0,得x1=-1,x2,列表可求得f (x)的极值.
⑵①当a=1时,g (x)=(x--2)ex,由已知得不等式g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,即b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立,从而b≤(x2-2x-)min x∈(0,+∞),令h(x)=x2-2x-(x>0)利用函数导数求出h(x)的最小值即可.
②由于g (x)=(ax--2a)ex,所以g ′(x)=(+ax--a)ex; 由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)ex+(+ax--a)ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.
存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立,等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.
注意到a>0,所以(x>1);设u(x)=(x>1),则问题等价于的最小值(或下确界),利用函数导数可判断u(x)在上的单调性可求得从而可得的取值范围为(-1,+∞).
试题解析:⑴当a=2,b=1时,f (x)=(2+)ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以f ′(x)=ex.令f ′(x)=0,得x1=-1,x2,列表

x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,)

(,+∞)
f ′(x)






f (x)
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