Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，BC⊥CD，且BC=2AD．
（1）若点E为线段PC的中点，求证：DE∥平面PAB；
（2）若二面角P-BC-A的大小为

π

4

，求证：平面PAB⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）取BP得中点F，连接AF、EF，根据三角形中位线定理结合直角梯形ABCD的上底AD为下底BC的一半，可证出EF与AD平行且相等，得到四边形ADEF是平行四边形，所以ED∥AF，最后根据线面平行的判定定理，可得DE∥平面PAB．
（2）根据线面垂直的判定与性质结合题中已知条件，证出BC⊥平面PCD，从而得出∠PCD是二面角P-BC-A的平面角，所以等腰Rt△PCD中，斜边上的中线DE⊥PC，结合BC⊥DE得到DE⊥平面PBC．再由DE∥AF，得到AF⊥平面PBC，根据面面垂直的判定定理，得到平面PAB⊥平面PBC．

解答：解：（1）取BP得中点F，连接AF，EF，
∵E为线段PC的中点，F为线段PB的中点，
∴EF∥BC且EF=

1

2

BC
又∵平面四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，且BC=2AD，
∴四边形ABCD是直角梯形，上底AD为下底BC的

1

2

由此可得，EF∥AD且EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，可得ED∥AF，
又∵DE?平面PAB，AF?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．（5分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵CD⊥BC，PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，∴BC⊥平面PCD．
∵PC⊆平面PCD，∴BC⊥PC
∴∠PCD是二面角P-BC-A的平面角，即有∠PCD=

π

4

，（7分）
此时，△PCD是等腰三角形，结合E是PC的中点，可得DE⊥PC，（9分）
∵BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴DE⊥BC，
∵PC、BC是平面PBC内的相交直线
∴DE⊥平面PBC
∵平行四边形ADEF中，DE∥AF，∴AF⊥平面PBC，（12分）
∵AF?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC．（14分）

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识，考查空间想象、推理论证能力，属于中档题．