Question

【题目】在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为的圆柱，其轴截面如图所示．设两个圆柱体积之和为．

(1)求的表达式，并写出的取值范围；

(2）求两个圆柱体积之和的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】试题分析：（1）圆柱的高、底面的半径和球的半径是一个直角三角形的三边，故可以得到两个圆柱的底面半径分别为， ，由此可以计算出两个圆柱的体积之和以及的取值范围．（2）因为，利用导数讨论该函数的单调性，从而求得的最大值为．

解析：（1）自下而上两个圆柱的底面半径分别为： ， ．它们的高均为，所以体积之和

．

因为，所以的取值范围是．

(2) 由，得，令，因为，得． 所以当时， ；当时， ．所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时， 取得极大值也是最大值， 的最大值为．

答：两个圆柱体积之和的最大值为．