Question

6．3名男生，4名女生排成一排，问：
（1）3名男生不相邻，有多少种排法？
（2）甲、乙、丙、丁四人必须站在一起，且甲在乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？
（3）甲不在最左边，乙不在最右边，有多少排法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名女生排好，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，用捆绑法分析：①、将甲、乙、丙、丁四人看成一个整体，计算可得四人之间的顺序，②、将这个整体与剩余的3个人进行全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论：①、若甲在最右边，将剩余的6人全排列即可，②、若甲不在最右边，分别求出甲、乙以及剩余5人的排法数目，由分步计数原理可得其情况数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、先将4名女生排好，有A₄⁴=24种情况，排好后有5个空位，
②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，有A₅³=60种情况，
则共有24×60=1440种排法，
∴3名男生不相邻有1440种排法；----------------------（4分）
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将甲、乙、丙、丁四人看成一个整体，
由于甲在乙的左边（不一定相邻），则四个人之间的顺序有$\frac{1}{2}$A₄⁴=12种情况，
②、将这个整体与剩余的3个人进行全排列，有A₄⁴=24种排法，
则共有12×24=288种排法，
故甲、乙、丙、丁四人必须站在一起，且甲在乙的左边（不一定相邻）有288种排法；----------------------（8分）
（3）根据题意，分2种情况讨论：
①、若甲在最右边，有A₆⁶=720种排法，
②、若甲不在最右边，
甲在5个位置中选1个，有A₅¹种情况，
乙也有5个位置可选，有A₅¹种情况，
剩下的5个人进行全排列，有A₅⁵种情况，
此时一共有A₅¹×A₅¹×A₅⁵=3000种排法，
则共有720+3000=3720种排法，
∴甲不在最左边、乙不在最右边有3720种排法．---------------------（14分）

点评 本题考查排列组合的运用，需要牢记常见问题的处理方法，如不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法．