Question

18．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）通过设$\overrightarrow{c}$=（x，y），利用$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，计算可得$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；
（2）通过（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$\frac{15}{4}$，即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{15}{4}$，利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{4}$及向量数量积的定义计算即可．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）；
（2）∵（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）$•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$\frac{15}{4}$，
即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{15}{4}$，
又|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{4}$，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．