题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，
是椭圆上两点，四边形
是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线
，，
的斜率依次成等差数列，求直线在
轴上截距的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）由已知得：
，问题得解；
（2）由已知可得：
，设直线l方程为：
，
,
，与椭圆方程联立可得：
，由韦达定理，得：
，
，最后由
，可得：
，代入解方程即可；
（3）设直线l方程为：
，由已知可得：
，即
，化简得：
，有已知可得:
，联立直线与椭圆方程得：
，由
，
和
可求b的取值范围.
（1）由
可得：，
从而
，所以椭圆方程为.
（2）由于四边形
是菱形，因此
且
.
由对称性，
在线段
上. 因此，
分别关于原点对称；
并且由于菱形的对角线相互垂直，可得
，即.
设直线l方程为：，且,
与椭圆方程联立可得：，
，，
由，可得：
解得
，即直线方程为.
（3）设直线l方程为：，
，由已知可得：
，即.
，
化简得：.
若
，则
经过
，不符合条件，
因此.
联立直线与椭圆方程得：.
因为，即
由得：
将
代入
得：
，
解得：
令
，则
当时，
，
在
或
上单调递减，
或
所以b的取值范围为：.
习题精选系列答案
【题目】水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：
产量（单位：斤） 播种方式 | [840，860） | [860，880） | [880,900） | [900,920） | [920,940） |
直播 | 4 | 8 | 18 | 39 | 31 |
散播 | 9 | 19 | 22 | 32 | 18 |
约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”
（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？
产量高 | 产量低 | 合计 | |
直播 | |||
散播 | |||
合计 |
附
：
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
