题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为 . (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设A(0,﹣1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C: =1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为 , ∴ ,又a2=b2+c2
解得a=2 ,b=
∴椭圆C的方程为
(Ⅱ)由题意知直线l的斜率k存在,
①当k=0时,设直线l的方程为y=y0 , P(﹣x0 , y0),Q(x0 , y0),

∴S= |2x0||y0|=|x0||y0|=2 =2,
当且仅当 =2﹣ ,即|y0|=1时,取等号,
此时直线l的方程为y=±1.
②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
联立 ,消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣2)=0,
由△=(8km)2﹣4(1+4k2)4(m2﹣2)>0,
解得8k2+2>m2 , (*)

∴PQ中点为(﹣ ),
∵|AP|=|AQ|,∴ ,化简得1+4k2=3m,
结合(*)得0<m<6,
又O到直线l的距离d=
|PQ|= |x1﹣x2|=
∴S= |PQ|d= = =
∴当m=3时,S取最大值2,此时k= ,直线l的方程为y=
综上所述,直线l的方程为y=±1或y=
【解析】(Ⅰ)由椭圆过点M(2,1),且离心率为 ,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程;(Ⅱ)由题意知直线l的斜率k存在,当k=0时,直线l的方程为y=±1.当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,联立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣2)=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式,结合已知条件能求出直线l的方程.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网