Question

【题目】已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．
（1）当a=1时，求在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；
（3）求证： ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+ ，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1处的切线方程为：y=x﹣1

（2）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，（x＞0）．

（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，

即a≥lnx+ 时，令g（x）=lnx+ ，

当x＞ea时，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ；

令g（x）=lnx+ ，

则g′（x）= ，x＞0；

则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

所以g（x）≥2，故a≤2

（3）证明：由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞ 在（1，+∞）上总成立，

令x= 得ln ＞ ，

化简得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，

所以ln2﹣ln1＞ ，

ln3﹣ln2＞ ，…，

ln（n+1）﹣lnn＞ ，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞ ，

即 ln（n+1），n∈N*命题得证

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a的范围即可；（3）令a=2，得：lnx＞ 在（1，+∞）上总成立，令x= ，得ln ＞ ，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，对x取值，累加即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．