题目内容

【题目】已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是(
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5

【答案】A
【解析】解:∵定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)

满足f[f(x)+log x]=4,

∴必存在唯一的正实数a,

满足f(x)+log x=a,f(a)=4,①

∴f(a)+log a=a,②

由①②得:4+log a=a,log a=a﹣4,

a=( a﹣4,左增,右减,有唯一解a=3,

故f(x)+log x=a=3,

f(x)=3﹣log x,

由方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,

即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a,

由g(x)=x3﹣6x2+9x﹣4+a,g′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

当1<x<3时,g′(x)<0,g(x)递减;当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)递增.

g(x)在x=1处取得最大值a,g(0)=a﹣4,g(3)=a﹣4,

分别作出y=|log x|,和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象,可得

两图象只有一个交点,将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移,

至经过点(3,1),有两个交点,

由g(3)=1即a﹣4=1,解得a=5,

当0<a≤5时,两图象有两个交点,

即方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解.

故选:A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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