Question

10．已知f（x）=log₂（1+ax），g（x）=log₂（1-x）
（1）若f（x）-g（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）当a=2时，f（x）+g（x）有最大值和最小值吗？，若有，求出其最大值和最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）得出F（x）=log₂$\frac{1+ax}{1-x}$，运用奇偶函数的定义证明．
（2）得出函数关系式G（x）=f（x）+g（x）=log₂（-2x²+x+1），结合不等式0＜-2x²+x+1≤$\frac{9}{8}$．根据复合函数的单调性求解即可．

解答 解：∵f（x）=log₂（1+ax），g（x）=log₂（1-x）
∴F（x）=f（x）-g（x）=log₂$\frac{1+ax}{1-x}$，
（1）∵f（x）-g（x）是奇函数，
∴F（-x）=-F（x），
即log₂$\frac{1-ax}{1+x}$=-log₂$\frac{1+ax}{1-x}$．
$\frac{1-ax}{1+x}$=$\frac{1-x}{1+ax}$，a²=1，a=-1（舍去）
a=1．
∴实数a的值为：1
（2）a=2，
G（x）=f（x）+g（x）=log₂（-2x²+x+1）（-$\frac{1}{2}$＜x＜1）
∵0＜-2x²+x+1=-2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$．
当x=$\frac{1}{4}$∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，等号成立．
∴利用对数函数对单调性得出：G（x）≤log₂$\frac{9}{8}$．
∴f（x）+g（x）有最大值log₂$\frac{9}{8}$，无最小值．

点评 本题综合考察了函数的性质，复合函数的性质运用，不等式的应用，属于中档题．