题目内容

1.若一个直角三角形的三边长a<b<c,b2=ac,则该三角形的最小角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

分析 根据三角形三边关系判断得到A为最小角,C为直角,利用勾股定理列出关系式,与已知等式联立求出$\frac{a}{c}$的值,即为sinA的最小值.

解答 解:∵一个直角三角形的三边长a<b<c,
∴C为直角,A为最小角,
∴sinA的最小值为$\frac{a}{c}$,
∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\\{{b}^{2}=ac}\end{array}\right.$,
∴a2+ac=c2,即$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{a}{c}$=1,
解得:$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

点评 此题考查了余弦定理,勾股定理,以及三角形三边关系,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

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